Двоичная и другие системы счисления

Мы живём в десятичной (decimal, DEC) системе счисления - любое число в ней можно представить десятью цифрами - от 0 до 9. Процессор же - цифровое устройство, то есть может оперировать только двумя величинами: 0 и 1, правда и ложь, высокий сигнал и низкий. Такая система счисления называется двоичной или бинарной (binary, BIN). Вся работа и процессор в целом построены на двоичной логике и многие моменты в программировании тоже на этом завязаны.

Единицы измерения информации #

Единица измерения цифровой информации, которая имеет только два состояния, называется бит (bit). Соответственно элементарная ячейка памяти, с которой процессор может взаимодействовать - один бит. Как и в других единицах измерения, в цифровых величинах существуют приставки для упрощения счёта больших чисел (метр, сантиметр, километр...), но работают они с другими множителями. Следующая после бита единица измерения - байт (byte) - содержит 8 бит. Так сложилось исторически по ряду причин и в большинстве современных систем используется именно 8-битный байт, тогда как в некоторых старых системах он был 6, 7 или даже 9:

• Процессор работает с двоичными данными, поэтому аппаратно проще и удобнее реализовать адресацию по степеням двойки, то есть числа 2, 4, 8, 16, 32...
• 8 бит (256 значений) достаточно для хранения символа из стандартной таблицы символов

Следующие по объёму единицы измерения имеют привычные приставки кило-мега-гига-тера, но множитель у них - 1024, что привело к путанице с привычным множителем 1000. В 1999 году Международная электротехническая комиссия (МЭК) ввела стандарт по именованию двоичных чисел (IEC 60027-2 и позже IEC 80000-13), который предписывает считать множителями двоичных чисел кило-мега-гига-тера именно 1000. Для двоичных чисел были придуманы специальные приставки: киби-меби-гиби-теби с множителем 1024. Помимо величин с окончанием байт также есть вариант с окончанием бит, то есть указывает непосредственно на количество бит информации.

В то же время, в Российском стандарте от 2009 года принято использование множителя 1024 со стандартными приставками, то есть:

• 1 Кбайт = 1024 байт
• 1 Мбайт = 1024 Кбайт
• 1 Гбайт = 1024 Мбайт
• 1 Тбайт = 1024 Гбайт

Таким образом, для определения точного объёма информации необходимо учитывать контекст.

Двоичная система #

Если считать числа по порядку в любой системе счисления с шагом в 1, то, когда младший разряд достигает своего максимального значения - он становится 0, а старший для него разряд получает +1. Так, например, десятичное число 19 превращается в 20 после прибавления единицы - 9 становится нулём 0, а единица 1 прибавляется к следующему разряду и получается 2. Давайте посчитаем числа по порядку в десятичной и двоичной системах:

Заметили последовательность?

Также здесь можно заметить особенность степени двойки - на ней в программировании завязано очень многое. Давайте посмотрим отдельно на первые 8 степеней двойки:

Таким образом, степень двойки "указывает" на порядковый номер бита. Это можно использовать для перевода чисел из двоичной системы в десятичную - достаточно заменить каждую единичку на соответствующее ей значение и все их сложить. Например 1001 - это 2^3 + 2^0 = 8 + 1 = 9.

MSB и LSB #

Как и в любой другой системе счисления, у чисел в двоичной системе есть разряды. В жизни мы записываем числа слева направо, от старшего к младшему, то есть у десятичного числа 123 старшим разрядом будет 1, а младшим - 3. То же самое - с двоичным, для краткости самый младший разряд называется LSB (Least Significant Bit), а самый старший - MSB (Most Significant Bit): MSB -> 1001 <- LSB.

Другие системы счисления #

Система счисления может иметь любое основание, то есть можно представить себе троичную, пятеричную и любые другие системы.

Данные в памяти микроконтроллера хранятся в двоичном представлении, но компилятор поддерживает и другие системы, в которых мы можем работать - десятичная (decimal, DEC), восьмеричная (octal, OCT) и шестнадцатеричная (hexadecimal, HEX).

У систем счисления, отличных от десятичной, при записи чисел в коде программы требуется префикс - чтобы компилятор понимал, о чём идёт речь:

Переводить числа из одной системы счисления в другую не нужно - компилятор сделает это сам.

// одно и то же число
0b010011010010; // BIN
1234;           // DEC
02322;          // OCT
0x4D2;          // HEX

Поддержка разных систем счисления нужна просто для удобства программиста:

• Привычные DEC числа мы будем использовать для обычных "человеческих" математических операций
• HEX числами принято записывать цвет, адреса в памяти, а также всякие ключи шифрования, хэши и прочие численные коды - HEX визуально занимает меньше места и выглядит как некий "код". Ещё одно большое преимущество HEX - два соседних разряда занимают 1 байт, то есть визуально можно оценить размер числа и увидеть значение каждого байта в нём. Например 0x12ab - это два байта со значениями 0x12 и 0xab
• BIN числа удобно использовать для манипуляций с битами в числе, работы с регистрами и создания алгоритмов на базе битовой математики
• OCT числа на практике встречаются редко

Значащие нули #

Значащие нули – это нули, которые нельзя убрать из числа, иначе получится другое число. Например если из числа 1230 убрать правый ноль - оно уменьшится в 10 раз. По сути это крайние младшие разряды, находящиеся справа. Незначащие нули можно убрать или добавить к числу слева (сразу после префикса, если он имеется) - число от этого не изменится: если из числа 0b0011 убрать левый ноль - его значение останется 0b011, можно и второй ноль убрать - 0b11 - это всё ещё то же число. В предыдущих таблицах я добавил незначащих нулей числам в столбце BIN, чтобы выровнять их по количеству разрядов для наглядности.

Дополнительно #

Полезные страницы #

• Набор GyverKIT – наш большой стартовый набор Arduino, продаётся в России
• Каталог ссылок на дешёвые Ардуины, датчики, модули и прочие железки с AliExpress
• Обратная связь – сообщить об ошибке в уроке или предложить дополнение по тексту ([email protected])
• Поддержать автора за работу над уроками