Математические операции

Математика

---

Одной из основных функций микроконтроллера является выполнение вычислений, как с числами напрямую, так и со значениями переменных. Начнём погружение в мир математики с самых простых действий:

• = присваивание
• % остаток от деления
• * умножение
• / деление
• + сложение
• - вычитание

Рассмотрим простой пример:

int a = 10;
int b = 20;
int c = a + b;  // c = 30
int d = a * b;  // d = 200

// так тоже можно
d = d / a;      // d = 20
c = c * d;      // c = 600

По поводу последних двух строчек из примера, когда переменная участвует в расчёте своего собственного значения: существуют также составные операторы, укорачивающие запись:

• += составное сложение: a += 10 равносильно a = a + 10
• -= составное вычитание: a -= 10 равносильно a = a - 10
• *= составное умножение: a *= 10 равносильно a = a * 10
• /= составное деление: a /= 10 равносильно a = a / 10
• %= прибавить остаток от деления: a %= 10 равносильно a = a + a % 10

С их использованием можно сократить запись последних двух строчек из предыдущего примера:

d /= a;      // (равносильно d=d/a) d = 20
c *= d;      // (равносильно c=c*d) c = 600

Очень часто в программировании используется прибавление или вычитание единицы, для чего тоже есть короткая запись:

• ++ (плюс плюс) инкремент: a++ равносильно a = a + 1
• -- (минус минус) декремент: a-- равносильно a = a - 1

Порядок записи инкремента играет очень большую роль: пост-инкремент var++ возвращает значение переменной var до выполнения этого инкремента. Операция пре-инкремента ++var возвращает значение уже изменённой переменной. Пример:

byte a, b;

a = 10;
b = a++;
// a получит значение 11
// b получит значение 10

a = 10;
b = ++a;
// a получит значение 11
// b получит значение 11 !!!

Как говорилось в предыдущем уроке – переменные желательно инициализировать, иначе они могут иметь случайное значение и в математических операциях получится непредсказуемый результат. Если переменная на момент начала выполнения программы, или после вызова функции (локальная переменная) должна иметь значение 0 – инициализируйте её как 0!

byte a;      // объявляем без инициализации
byte b = 0;  // объявляем и присваиваем 0

a++;  // результат м.б. непредсказуем
b++;  // точно будет результат 1

Порядок вычислений

---

Порядок вычисления выражений подчиняется обычным математическим правилам: сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце – сложение и вычитание

Скорость вычислений

---

Производимые вычисления занимают у процессора некоторое время, оно зависит от типа действия и от типа данных, с которым действие производится. Нужно понимать, что не все во всех случаях действия тратят столько времени, сколько будет рассказано дальше: компилятор старается по возможности оптимизировать вычисления, как он это делает можно попробовать поискать в интернете. Оптимизированные вычисления занимают ничтожно мало времени по сравнению с не оптимизированными. Сложно сказать, будет ли оптимизировано отдельно взятое вычисление в вашем коде, поэтому нужно всегда готовиться к худшему и знать, как лучше делать. А именно:

• Arduino (на AVR) не имеет “хардверной” поддержки вычислений с плавающей точкой (float), и эти вычисления производятся при помощи отдельных инструментов и занимают гораздо больше времени, чем с целочисленными типами
• Чем “массивнее” тип данных, тем дольше производятся вычисления, т.е. действия с 1-байтными переменными производятся быстрее, чем с 4-х байтными
• Деление (и поиск остатка от деления) производится отдельными инструментами (как операции с float), поэтому эта операция занимает больше времени, чем сложение/вычитание/умножение. Для оптимизации скорости вычислений есть смысл заменять деление умножением на обратное число (даже на float)

Резюмируя всё вышесказанное хочу показать вам вот такую табличку, в которой показано время не оптимизированных компилятором вычислений разных типов данных, время указано в микросекундах (мкс) для тактовой частоты 16 МГц. Операция деление также соответствует операции “остаток от деления”, %:

Тип данных	Время выполнения, мкс
	Сложение и вычитание	Умножение	Деление, остаток
int8_t	0.44	0.625	14.25
uint8_t	0.44	0.625	5.38
int16_t	0.89	1.375	14.25
uint16_t	0.89	1.375	13.12
int32_t	1.75	6.06	38.3
uint32_t	1.75	6.06	37.5
float	8.125	10	31.5

Эта информация дана чисто для ознакомления и париться о скорости вычислений не нужно, т.к. большинство из них будут оптимизированы. Когда могут возникнуть проблемы с недостатком скорости вычисления? Я столкнулся с этим только один раз в проекте “LED кубик“, где Ардуина вычисляла закон движения пары десятков точек по наклонной плоскости по подробной физической модели. Вот там да, я заметил, как микросекунды вычислений превращались в миллисекунды. Для простых проектов без тысяч вычислений, честно, не парьтесь =)

Целочисленное деление

---

При целочисленном делении результат не округляется по “математическим” правилам: дробная часть просто отсекается (то есть имеет место быть округление вниз): и 9/10 и 1/10 дадут 0. При использовании float само собой получится 0.9 и 0.1. Для округления по обычным математическим правилам можно использовать функцию round(), но она довольно тяжёлая, так работает с float. Многие задачи можно решить при помощи целочисленной математики, что очень оптимально по скорости выполнения кода (как вы можете видеть из таблицы выше). Иногда бывает нужно целочисленное деление с округлением вверх, его можно реализовать так: (x + y - 1) / y. Рассмотренные выше примеры деления на 10 дадут результат 1.

Переполнение переменной

---

Раз мы начали говорить о действиях, увеличивающих или уменьшающих значение переменной, стоит задуматься и о том, что будет с переменной, если её значение выйдет из допустимого диапазона? Тут всё весьма просто: при переполнении в бОльшую сторону из нового большого значения отсекается максимальное значение переменной, и у неё остаётся только остаток. Для сравнения представим переменную как ведро. Будем считать, что при наливании воды и переполнении ведра мы скажем стоп, выльем из него всю воду, и дольём остаток. Вот так и с переменной, что останется – то останется. Если переполнение будет несколько раз – несколько раз опорожним наше “ведро” и всё равно оставим остаток. Ещё один хороший пример – кружка Пифагора. При переполнении в обратную сторону, т.е. в минус, выливаем воду, будем считать, что ведро полностью заполнилось. Да, именно так =) Посмотрим пример:

// тип данных byte
// мин. значение 0
// макс. значение 255
byte val = 255;

// тут val станет равным 0
val++;

// а тут из нуля станет 246
val -= 10;

// переполним! Останется 13
val = 525;

// и обратно: val равна 236
val = -20;

Особенность больших вычислений

---

Для сложения и вычитания по умолчанию используется ячейка long (4 байта), но при умножении и делении используется int (2 байта), что может привести к непредсказуемым результатам! Если при умножении чисел результат превышает 32’768, он будет посчитан некорректно. Для исправления ситуации нужно писать (тип данных) перед умножением, что заставит МК выделить дополнительную память для вычисления (например (long)35 * 1000). Также существую модификаторы, делающие примерно то же самое.

• U – перевод в формат unsigned int (от 0 до 65’535). Пример: 36000u
• L – перевод в формат long (-2 147 483 648… 2 147 483 647). Пример: 325646L
• UL – перевод в формат unsigned long (от 0 до 4 294 967 295). Пример: 361341ul

Посмотрим, как это работает на практике:

long val;
val = 2000000000 + 6000000;         // посчитает корректно (т.к. сложение)
val = 25 * 1000;                    // посчитает корректно (умножение, меньше 32'768)
val = 35 * 1000;                    // посчитает НЕКОРРЕКТНО! (умножение, больше 32'768)
val = (long)35 * 1000;              // посчитает корректно (выделяем память (long) )
val = 35 * 1000L;                   // посчитает корректно (модификатор L)
val = 35 * 1000u;                   // посчитает корректно (модификатор u)
val = 70 * 1000u;                   // посчитает НЕКОРРЕКТНО (модификатор u, результат > 65535)
val = 1000 + 35 * 10 * 100;         // посчитает НЕКОРРЕКТНО! (в умножении больше 32'768)
val = 1000 + 35 * 10 * 100L;        // посчитает корректно! (модификатор L)
val = (long)35 * 1000 + 35 * 1000;  // посчитает НЕКОРРЕКТНО! Второе умножение всё портит
val = (long)35 * 1000 + (long)35 * 1000;  // посчитает корректно (выделяем память (long) )
val = 35 * 1000L + 35 * 1000L;      // посчитает корректно (модификатор L)

Особенность float

---

Arduino поддерживает работу с числами с плавающей точкой (десятичные дроби). Этот тип данных не имеет аппаратной поддержки, а реализован программно, поэтому вычисления с ним производятся в несколько раз дольше, чем с целочисленным типом, вы могли видеть это из таблицы выше. Помимо медленных вычислений, поддержка работы с float занимает память, т.к. она реализована в виде “библиотеки”. Использование математических операций с float (* / + -) добавляет примерно 1000 байт во flash память, однократно, просто подключается инструмент для выполнения действий. Arduino поддерживает три типа ввода чисел с плавающей точкой:

Тип записи	Пример	Чему равно
Десятичная дробь	20.5	20.5
Научный	2.34E5	2.34*10^5 или 234000
Инженерный	67e-12	67*10^-12 или 0.000000000067

С вычислениями есть такая особенность: если в выражении нет float чисел, то вычисления будут иметь целый результат (дробная часть отсекается). Для получения правильного результата нужно писать преобразование (float) перед действием, использовать float числа или float переменные. Также есть модификатор f, который можно применять только к цифрам float. Смысла в нём нет, но такую запись можно встретить. Смотрим:

float val;              // далее будем присваивать 100/3, ожидаем результат 33.3333
val = 100 / 3;          // посчитает НЕПРАВИЛЬНО (результат 33.0)

int val1 = 100;         // целочисленная переменная
val = val1 / 3;         // посчитает НЕПРАВИЛЬНО (результат 33.0)

float val2 = 100;       // float переменная
val = val2 / 3;         // посчитает правильно (есть переменная float)

val = (float)100 / 3;   // посчитает правильно (указываем (float) )
val = 100.0 / 3;        // посчитает правильно (есть число float)
val = 100 / 3.0f;       // посчитает правильно (есть число float и модификатор)

При присваивании float числа целочисленному типу данных дробная часть отсекается. Если хотите математическое округление – его нужно использовать отдельно:

int val;
val = 3.25;         // val станет 3
val = 3.92;         // val станет 3
val = round(3.25);  // val станет 3
val = round(3.92);  // val станет 4

Следующий важный момент: из за особенности самой модели “чисел с плавающей точкой” – вычисления иногда производятся с небольшой погрешностью. Смотрите (значения выведены через порт):

float val2 = 1.1 - 1.0;
// val2 == 0.100000023 !!!

float val4 = 1.5 - 1.0;
// val4 == 0.500000000

Казалось бы, val2 должна стать ровно 0.1 после вычитания, но в 8-ом знаке вылезла погрешность! Будьте очень внимательны при сравнении float чисел, особенно со строгими операциями <=: результат может быть некорректным и нелогичным.

Список математических функций

---

Математических функций Arduino поддерживает очень много, малая часть из них являются макро функциями, идущими в комплекте с Arduino.h, все остальные же наследуются из мощной C++ библиотеки math.h

Видео

---

Важные страницы

---

• Набор GyverKIT – большой стартовый набор Arduino моей разработки, продаётся в России
• Каталог ссылок на дешёвые Ардуины, датчики, модули и прочие железки с AliExpress у проверенных продавцов
• Подборка библиотек для Arduino, самых интересных и полезных, официальных и не очень
• Полная документация по языку Ардуино, все встроенные функции и макро, все доступные типы данных
• Сборник полезных алгоритмов для написания скетчей: структура кода, таймеры, фильтры, парсинг данных
• Видео уроки по программированию Arduino с канала “Заметки Ардуинщика” – одни из самых подробных в рунете
• Поддержать автора за работу над уроками
• Обратная связь – сообщить об ошибке в уроке или предложить дополнение по тексту (alex@alexgyver.ru)