Математические операции

Математика

---

Одной из основных функций микроконтроллера является выполнение вычислений, как с числами напрямую, так и со значениями переменных. Начнём погружение в мир математики с самых простых действий:

• = присваивание
• + сложение
• - вычитание
• * умножение
• / деление
• % остаток от деления

Рассмотрим простой пример:

int a = 10;
int b = 20;
int c = a + b;  // c = 30
int d = a * b;  // d = 200

// так тоже можно
d = d / a;      // d = 20
c = c * d;      // c = 600

По поводу последних двух строчек из примера, когда переменная участвует в расчёте своего собственного значения: существуют также составные операторы, укорачивающие запись:

• += составное сложение: a += 10 равносильно a = a + 10
• -= составное вычитание: a -= 10 равносильно a = a - 10
• *= составное умножение: a *= 10 равносильно a = a * 10
• /= составное деление: a /= 10 равносильно a = a / 10
• %= остаток от деления: a %= 10 равносильно a = a % 10

С их использованием можно сократить запись последних двух строчек из предыдущего примера:

d /= a;
c *= d;

Очень часто в программировании используется прибавление или вычитание единицы, для чего тоже есть короткая запись:

• ++ (плюс плюс) инкремент: a++ равносильно a = a + 1
• -- (минус минус) декремент: a-- равносильно a = a - 1

Порядок записи инкремента играет очень большую роль: пост-инкремент var++ возвращает значение переменной до выполнения инкремента. Операция пре-инкремента ++var возвращает значение уже изменённой переменной. Пример:

byte a, b;

a = 10;
b = a++;
// a получит значение 11
// b получит значение 10

a = 10;
b = ++a;
// a получит значение 11
// b получит значение 11

Как говорилось в предыдущем уроке – локальные переменные нужно инициализировать, иначе в математических операциях получится непредсказуемый результат.

{
  byte a;      // просто объявляем
  byte b = 0;  // инициализируем 0

  a++;  // результат непредсказуем
  b++;  // результат 1
}

Порядок вычислений

---

Порядок вычисления выражений подчиняется обычным математическим правилам: сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце – сложение и вычитание.

Скорость вычислений

---

Математические вычисления выполняются процессором некоторое время, оно зависит от типа данных и типа операции. Вот время выполнения (в микросекундах) не оптимизированных компилятором вычислений для Arduino Nano 16 МГц:

Тип данных	Время выполнения, мкс
	Сложение и вычитание	Умножение	Деление, остаток
int8_t	0.44	0.625	14.25
uint8_t	0.44	0.625	5.38
int16_t	0.89	1.375	14.25
uint16_t	0.89	1.375	13.12
int32_t	1.75	6.06	38.3
uint32_t	1.75	6.06	37.5
float	8.125	10	31.5

• Нужно понимать, что не все во всех случаях математические операции занимают ровно столько времени, так как компилятор их оптимизирует. Можно помочь ему в этом, подробнее читайте в уроке по оптимизации кода.
• Операции с float выполняются гораздо дольше целочисленных, потому что в AVR нет аппаратной поддержки чисел с плавающей точкой и она реализована программно как сложная библиотека. В некоторых микроконтроллерах есть FPU – специальный аппаратный блок для вычислений с float.
• Операции целочисленного деления на AVR выполняются дольше по той же причине – они реализованы программно, а вот умножение и сложение с вычитанием МК делает аппаратно и очень быстро.

Целочисленное деление

---

При целочисленном делении результат не округляется по “математическим” правилам, дробная часть просто отсекается, фактически это округление вниз: и 9/10 и 1/10 дадут 0. При использовании float само собой получится 0.9 и 0.1. Если нужно целочисленное деление с округлением вверх, его можно реализовать так: вместо x / y записать (x + y - 1) / y. Рассмотренные выше примеры деления на 10 дадут результат 1.

Для округления по обычным математическим правилам можно использовать функцию round(), но она довольно тяжёлая, так работает с float.

Переполнение переменной

---

Вспомним предыдущий урок о типах данных: что будет с переменной, если её значение выйдет из допустимого диапазона? Тут всё весьма просто: при переполнении в бОльшую сторону из нового значения вычитается максимальное значение переменной, и у неё остаётся только остаток. Для сравнения представим переменную как ведро. Будем считать, что при наливании воды и заполнении ведра мы скажем стоп, выльем из него всю воду, а затем дольём остаток. Вот так и с переменной, что останется – то останется. Если переполнение будет несколько раз – несколько раз опорожним наше “ведро” и всё равно оставим остаток. Ещё один хороший пример – кружка Пифагора.

При переполнении в обратную сторону (выливаем воду из ведра), будем считать, что ведро полностью заполнилось. Да, именно так =) Посмотрим пример:

// тип данных byte (0.. 255)
byte val = 255;

// тут val станет равным 0
val++;

// а тут из нуля станет 246
val -= 10;

// переполним! Останется 13
val = 525;

// и обратно: val равна 236
val = -20;

Особенность больших вычислений

---

Для сложения и вычитания по умолчанию используется ячейка 4 байта (long), но для умножения и деления – 2 байта (int). Если при умножении или делении в текущем действии результат превысит 32768 – ячейка переполнится и мы получим некорректный результат. Для исправления ситуации нужно привести тип переменной к long перед вычислением, что заставит МК выделить дополнительную память. Например  a = (long)b * c;

Для цифр существуют модификаторы, делающие то же самое:

• U или u – перевод в uint16_t (от 0 до 65’535). Пример: 36000u
• L или l – перевод в int32_t (-2 147 483 648… 2 147 483 647). Пример: 325646L
• UL или ul – перевод в uint32_t (от 0 до 4 294 967 295). Пример: 361341ul

Посмотрим, как это работает на практике:

long val;
val = 2000000000 + 6000000;         // посчитает корректно (т.к. сложение)
val = 25 * 1000;                    // посчитает корректно (умножение, меньше 32'768)
val = 35 * 1000;                    // посчитает НЕКОРРЕКТНО! (умножение, больше 32'768)
val = (long)35 * 1000;              // посчитает корректно (выделяем память (long) )
val = 35 * 1000L;                   // посчитает корректно (модификатор L)
val = 35 * 1000u;                   // посчитает корректно (модификатор u)
val = 70 * 1000u;                   // посчитает НЕКОРРЕКТНО (модификатор u, результат > 65535)
val = 1000 + 35 * 10 * 100;         // посчитает НЕКОРРЕКТНО! (в умножении больше 32'768)
val = 1000 + 35 * 10 * 100L;        // посчитает корректно! (модификатор L)
val = (long)35 * 1000 + 35 * 1000;  // посчитает НЕКОРРЕКТНО! Второе умножение всё портит
val = (long)35 * 1000 + (long)35 * 1000;  // посчитает корректно (выделяем память (long) )
val = 35 * 1000L + 35 * 1000L;      // посчитает корректно (модификатор L)

Особенности float

---

Помимо медленных вычислений, поддержка работы с float занимает много памяти, т.к. реализована в виде “библиотеки”. Использование математических операций с float однократно добавляет примерно 1.5 кБ в память программы.

С вычислениями есть такая особенность: если в выражении нет float чисел, то вычисления будут иметь целый результат (дробная часть отсекается). Для получения правильного результата нужно писать преобразование (float) перед действием, использовать float числа или float переменные. Также есть модификатор f, который можно применять только к цифрам float. Смысла в нём нет, но такую запись можно встретить. Смотрим:

float val;              // далее будем присваивать 100/3, ожидаем результат 33.3333
val = 100 / 3;          // посчитает НЕПРАВИЛЬНО (результат 33.0)

int val1 = 100;         // целочисленная переменная
val = val1 / 3;         // посчитает НЕПРАВИЛЬНО (результат 33.0)

float val2 = 100;       // float переменная
val = val2 / 3;         // посчитает правильно (есть переменная float)

val = (float)100 / 3;   // посчитает правильно (указываем (float) )
val = 100.0 / 3;        // посчитает правильно (есть число float)
val = 100 / 3.0f;       // посчитает правильно (есть число float и модификатор)

При присваивании float числа целочисленному типу данных дробная часть отсекается. Если хотите математическое округление – его нужно использовать отдельно:

int val;
val = 3.25;         // val станет 3
val = 3.92;         // val станет 3
val = round(3.25);  // val станет 3
val = round(3.92);  // val станет 4

Следующий важный момент: из за особенности самой модели “чисел с плавающей точкой” – вычисления иногда производятся с небольшой погрешностью. Смотрите (значения выведены через порт):

float val2 = 1.1 - 1.0;
// результат 0.100000023 !!!

float val4 = 1.5 - 1.0;
// результат 0.500000000

Казалось бы, val2 должна стать ровно 0.1 после вычитания, но в 8-ом знаке вылезла погрешность! Будьте очень внимательны при сравнении float чисел, особенно со строгими операциями <=: результат может быть некорректным и нелогичным.

Список математических функций

---

Математических функций в Arduino довольно много, часть из них являются макросами, идущими в библиотеке Arduino.h, все остальные же наследуются из мощной C++ библиотеки math.h

Видео

---

Полезные страницы

---

• Набор GyverKIT – большой стартовый набор Arduino моей разработки, продаётся в России
• Каталог ссылок на дешёвые Ардуины, датчики, модули и прочие железки с AliExpress у проверенных продавцов
• Подборка библиотек для Arduino, самых интересных и полезных, официальных и не очень
• Полная документация по языку Ардуино, все встроенные функции и макросы, все доступные типы данных
• Сборник полезных алгоритмов для написания скетчей: структура кода, таймеры, фильтры, парсинг данных
• Видео уроки по программированию Arduino с канала “Заметки Ардуинщика” – одни из самых подробных в рунете
• Поддержать автора за работу над уроками
• Обратная связь – сообщить об ошибке в уроке или предложить дополнение по тексту (alex@alexgyver.ru)